Muhammad Al Khawarizmi, le père de l’algèbre

Al-Khawarizmi, né vers 783, originaire de Khiva dans la région du Khawarezm, Ouzbékistan actuel qui lui a donné son nom, mort vers 850 à Bagdad, est un mathématicien, géographe, astrologue et astronome perse, membre des Maisons de la sagesse dont les écrits, rédigés en langue arabe, ont permis l’introduction de l’algèbre en Europe. Sa vie s’est déroulée en totalité à l’époque de la dynastie Abbasside.

Il est à l’origine des mots « algorithme » (qui n’est autre que le nom latinisé : « algoritmi » 4) et « algèbre » (issu d’une méthode et du titre d’un de ses ouvrages) ou encore de l’utilisation des chiffres arabes dont la diffusion dans le Moyen-Orient et en Europe provient d’un autre de ses livres (qui lui-même traite des mathématiques indiennes).

Son apport en mathématiques fut tel qu’il est également surnommé « le père de l’algèbre », avec Diophante d’Alexandrie, dont il reprendra les travaux. En effet, il fut le premier à répertorier de façon systématique des méthodes de résolution d’équations en classant celles-ci.

Il ne faut pas confondre ce mathématicien Muhammad ibn Mūsā al-Khuwārizmī avec un autre mathématicien perse : Abu-‘Abdollâh Mohammad Khuwârizmi qui, lui, est l’auteur de Mafâtih al-‘Olum (ouvrage de mathématiques écrit vers 976).

Nous ne possédons, malheureusement, que fort peu de détails sur la vie d’ Abû Ja^cfar Muhammad bin Mûsâ al-Khuwârizmî . Nous ignorons tout de sa parentèle. Son nom, cependant, nous apprend qu’il était originaire d’une province persane relativement excentrée du Dâr Al-Islâm car sise au Nord de l’Iran actuel, en Asie Centrale : l’antique Choresmia . Celle-ci, de nos jours, est partagée entre l’Ouzbékistan, le Turkménistan et la Karakalpakie.

Nous savons également qu’il vécut dans la première moitié du IX^e siècle de l’ère chrétienne, vraisemblablement entre 800 et 847. Il fut donc rappelé à Dieu avant l’âge de cinquante ans. Cet homme a accompli en moins d’un demi-siècle ce que d’autres ne feront jamais, même en vivant centenaire.
Qui était Al-Khuwârizmî ? Un savant. Certes, mais encore. Un génie, de toute évidence. Mais ne fut-il pas davantage ? Assurément ! Notre héros brilla, et avec quel éclat, dans cinq domaines qui en firent un remarquable compagnon des sciences. En effet, ce Persan d’expression arabe fut tout à la fois astrologue, astronome, géographe, historien et surtout mathématicien. L’étendue de ses travaux dans l’art du calcul ouvrirent la voie à d’extraordinaires progrès. Et désormais, quand nous volons dans les cieux nous le lui devons en grande partie. Si nous guérissons tellement de maladies et reculons d’autant le moment où Thanatos, après avoir arraché une boucle de cheveux à un malheureux mortel l’emporte au-delà de l’Achéron, nous pouvons l’en remercier. Lorsque nous nous émerveillons, à juste titre, des fascinantes possibilités des ordinateurs (qui ne sont pourtant que des arithmographes perfectionnés), nous en sommes toujours redevables à ce Persan. Car à l’origine de ces miracles et de tous les prodiges qui ont façonné les technologies modernes, il y a un métier féerique tout en subtilités, en formules magiques et en courbes séduisantes. C’est celui d’architecte des chiffres. Seul le mathématicien est inspiré comme le poète. Avec des vers, l’un nous emmène dans un rêve ; l’autre transmue le songe enchanteur en réalité virtuelle avant d’en faire une évidence tout à fait concrète. Souvenons-nous, les Grecs imaginèrent des ailes de cire pour le fils de Dédale tandis que Clément Ader transforma chacun d’entre nous en Icare triomphant. Du désir à sa réalisation, il n’y a souvent que l’art du calcul.

Si la vie d’Abû Ja^cfar Muhammad bin Mûsâ al-Khuwârizmî, faute de témoignages, demeure assez obscure, son œuvre, en revanche, est bien connue. Ses écrits ont, pour l’essentiel, été conservés et, mieux encore pour l’Occident, promptement traduits en latin après leur introduction chez les Maures d’Al-Andalus.

d’après le site Chonomath de Serge Mehl -> http://serge.mehl.free.fr/

AL-KHAWARIZMI Muhammad, vers 780-850

Al-Khawarizmi Muhammad ibn Moussa est originaire de Khiva (Ouzbékistan) dans l’ancienne province du Kharezm, également transcrit Khawarizm (Ouzbékistan actuel) et ancien nom de Khiva, d’où son nom.

Il fut astronome sous le règne du Calife Abd Allah al Mamoun (786-833) qui encouragea la philosophie et les sciences en ordonnant la traduction (827) des textes de la Grèce antique. C’est ainsi, par exemple, que fut connue l’œuvre de Ptolémée, dite Al majisti (la très grande) : l’Almageste.

La notoriété d’Al-Khawarizmi nous est parvenue à travers les siècles moins par ses talents d’astronome que par son intervention dans l’art du calcul algébrique : il est l’auteur du célèbre ouvrage Kitab Al jabr w’al mouqabala, translittération latine du titre arabe, soit : Livre sur la science de la transposition et de la réduction.

Ce traité, écrit à la demande du Calife Al Mamoun de Bagdad (813-833), place Al-Khawarizmi comme un des premiers algébristes, mais ces travaux auraient été inspirés de ceux de l’indien Brahmagupta. L’influence indienne se retrouve dans l’usage du système décimal positionnel pour lequel il développe les règles de multiplication, de division et d’extraction de racine carrée.

L’avènement d’un nouveau concept : l’algorithme:

La démarche méthodique et la puissance de ses calculs, par l’usage des chiffres arabes, valut à Al-Khawarizmi de voir son nom utilisé dès le 12è siècle en Occident : algorismo en espagnol, algorisme en français), mot formé sur son nom et sur le mot grec arithmos , signifiant nombre et qui a donné arithmétique = science du calcul. Les algorithmistes ou algoristes, calculant avec les chiffres arabes, s’opposèrent alors aux abacistes : ceux qui utilisaient les abaques (bouliers qu’utilisaient les grecs de l’Antiquité).

En mathématique et en informatique, l’algorithme peut se définir comme étant:

L’ensemble des règles et d’instructions à suivre, effectivement exécutables, permettant
d’obtenir un résultat clairement défini en un nombre fini d’étapes

L’algorithme est ainsi conséquence directe d’une bonne analyse (du grec analusis = décomposition) du problème.

Une branche nouvelle des mathématiques : l’algèbre:

Algèbre (14è siècle) vient de l’arabe
al jabr utilisé par Al-Khawarizmi pour signifier
la transposition (mot à mot reboutement, soit : remise en place, réparation) d’un terme d’un membre à l’autre d’une équation. Cette transposition se traduit essentiellement par l’ajout d’une même quantité dans les deux membres de l’équation afin d’éliminer les termes apparaissant en soustraction.

**Première page du Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala**

La mouqabala (mouqabal = opposé, face à face) est l’action consistant à supprimer les termes identiques dans les deux membres et à diviser éventuellement afin d’obtenir soit
la solution (1er degré) soit une équation normée (dont le coefficient en x² est 1) dans le cas du second degré.Les termes arabes désignant l’équation (muadala), l’inconnue (gezr = racine, ou cheï = chose) et le carré de l’inconnue (mahal) apparaissent. Al-Khwarizmi fait allusion aux nombres négatifs des mathématiciens Indiens mais ne les accepte pas comme solutions de ses équations. Elles ne seront pris en compte en occident qu’après Girard et Descartes et définitivement adoptés seulement après les travaux de Gauss
Le terme racine est utilisé pour signifier « quelque chose de caché » qu’il s’agit de déterminer. Le même terme est utilisé pour désigner les nombres solutions d’équations comme x_² = a, x _³= a correspondant aux
racines carrée et cubique.

Al-Qalasadi
L’algèbre et son origine selon d’Alembert :

Afin de justifier le bien-fondé de ses calculs algébriques, Al-Khawarizmi prouva au préalable, comme le fit Euclide auparavant, certaines identités remarquable usuelles étudiées dès la classe de 3ème en utilisant le support géométrique des aires. En effet, on prouve en effet facilement par ce moyen aisément les deux formules ci-dessous :

(a + b)²=a² + 2 ab + b² ,
(a -b)²= a² – 2 ab + b²

car on constate, pour la première par exemple, que l’aire du carré de côté a + b est obtenue en ajoutant les aires des carrés grisés et deux fois celle des rectangles de dimensions a et b, d’aire ab. Avec Al-Khwarizmi et les autres algébristes arabes,
comme Abu Kamil, on s’affranchit peu à peu du support géométrique au profit d’algorithmes algébriques déduits des observations géométriques.
Montrer que la figure ci-dessous illustre la formule détestée des élèves de 3ème… :
a² – b² = (a + b) x (a – b)

Al-Khawarizmi énonça des règles algébriques de résolution d’équations du second degré qu’il ramène à la forme :

x² = a	les carrés égalent les nombres
x² = ax	les carrés égalent les racines
x² + ax = b	les carrés et les racines égalent les nombres
x² = ax + b	les carrés égalent les racines et les nombres
x²+ a = bx	les carrés et les nombres égalent les racines

Les mathématiciens Arabes, encore très influencés par les Grecs, n’utilisent pas, contrairement aux mathématiciens Indiens, les nombres négatifs, ce qui explique les différents cas étudiés. On recherche une solution positive; un écriture comme ^x_² + ax + b = 0 n’a pas encore de sens. Si un terme est en soustraction, on rétablit par transposition (al jabr). Le troisième degré sera traité principalement par Al-Khayyam, 300 ans plus tard.

Les résolutions d’Al-Khawarizmi sont semblables à la mise sous la forme canonique enseignée aujourd’hui:

x² + ax = (x +a/2)² – a²/4afin de se ramener à une forme simple X² = A.

Cette formule revient à écrire que l’aire jaune ci-contre est égale à l’aire du grand carré de côté x + 2 x a/4 = x + a/2, privée de l’aire des 4 carrés bleus de côté a/4.

Par exemple, l’équation x² + 12x = 133 peut s’écrire (x + 12÷2)² – 12²/4 = 133, soit (x + 6)² – 36 = 133. D’où par al jabr (ajout de 36 dans les deux membres) : (x + 6)² = 169. Par jizr (extraction de la racine carrée), une solution positive est alors obtenue par la simple équation du 1er degré : x + 6 = 13, soit x = 7.

De la même manière Al-Khawarizmi traita, entre autres, les cas :

x² + 10x = 39
x² + 21 = 10x
x² = 3x + 4

Les recherches trigonométriques
:

En trigonométrie, il est coutume d’attribuer à Al-Khawarizmi,dans un traité écrit à Bagdad, la volonté d’asseoir l’utilisation systématique de la demi-corde, équivalente à notre sinus dans un cercle de rayon 1, en remplacement des cordes de Ptolémée. Selon P. Youschkevitch, son ouvrage ne fut connu que vers l’an 1000 et sans doute complété par Abu Al Qasim Maslama, un astronome installé à Cordoue (Espagne).

Les recherches trigonométriques liées à l’astronomie et à la cartographie :

En trigonométrie, dans le cadre de calculs astronomiques relatifs à la position des astres du système solaire et suite aux travaux de l’astronome indien Aryabhata, il est coutume d’attribuer à Al-Khwarizmi, dans un traité écrit à Bagdad, la volonté d’asseoir l’utilisation systématique de la demi-corde, équivalente à notre sinus dans un cercle de rayon 1, en remplacement des cordes de Ptolémée.

En astronomie, dans un livre intitulé Kiteb Surat al-Arḍ (livre de la description de la Terre), Al-Khwarizmi apporta un grand nombre de corrections aux coordonnées géographiques (latitude, longitude) des grandes citées du monde alors connu recensées par Ptolémée 700 ans auparavant mais toujours en usage à son époque. Cependant, pour ce faire, il déplaça 10° à l’Est sur le continent africain le méridien origine que Ptolémée avait choisi sur l’île de Fer des Canaries, au point le plus occidental du monde connu. Ce qui sèmera une certaine confusion dans le monde des géographes (» réf.9-10).

On lui doit des tables astronomiques fort précises basées tant sur ses observations que sur des compilations de tables indiennes. Pour ce faire, il perfectionna des instruments d’observation comme le quadrant astronomique gradué en degrés, initié au 2è siècle par Ptolémée, et mit au point des cadrans solaires précis informant les fidèles de l’heure des prières. Selon P. Youschkevitch, son ouvrage ne fut connu que vers l’an 1000 et sans doute complété par Abu Al Qasim Maslama, un astronome installé à Cordoue (» réf.9).

Cette illustration montre un quadrant astronomique, sorte de rapporteur géant limité à aux mesures d’observation (0° à 90°).
Il possède deux plans de rotation (horizontal et vertical). L’œil de l’observateur est en A et regarde en direction de [Ay) aidés par les deux viseurs
(en noir), petites pièces fendues appelés alidades. Le quart de cercle est gradué en demi-degrés.
Le fil à plomb, fixé en A, indique l’angle d’inclinaison : ^xAy = ^zAv (angles à côtés perpendiculaires).

Source Wikipédia (Deutsche Fotothek). Domaine public

Horaires des prières à Poitiers

➔ Pour en savoir plus :

1. Les mathématiques arabes du 8e au 15e siècle, Adolf P. Youschkevitch, Éd. Vrin – CNRS – Paris -1976
2. L’algèbre arabe : Genèse d’un art, par Ahmed Djebbar, Éd. Vuibert/Adapt, Paris – 2005
3. La langue des mathématiques en arabe, par Mohammed Souissi, univ. Tunis, 1968
4. a) L’algèbre d’Al-Khwarizmi et les méthodes indienne et grecque, Léon Rodet, 1878
  https://archive.org/details/LalgbreDAlKhrizmiEtLesMthodesIndienneEtGrecqueLonRodet1878/page/n4/mode/1up?view=theater
  ou bien (mais lecture peu pratique) : http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k995262
  b) Diophante et l’algèbre, par Nicolas Farès (Société libanaise d’histoire des sciences arabes) :
  https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01741649/document
5. La tradition algébrique arabe d’al-Khwârizmî au Moyen Âge latin et la place de la géométrie, par Marc Moyon (univ. Limoges)
  https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00520812/document
6. Histoire de la numération arabo-indienne par Mohamed El Mahdi Abdeljouad (colloque EMF 2006) :
  http://emf.unige.ch/files/3214/5389/0026/EMF2006_GT3_Abdelajaouad.pdf
7. Les algorithmes, par Patrice Hernert, Que sais-je n °2928, Ed. P.U.F., Paris – 1995
8. Traité d’arithmétique, par J. Querret (1823) : https://books.google.fr/books?id=kKUJAAAAIAAJ
9. a) Histoire des sciences arabes, Tome 1 : Astronomie théorique et appliquée
  Livre contributif sous la direction de Roshdi Rashed. Un chapitre écrit par Edward S. Kennedy, historien des sciences arabes (1912-2009)
  est consacrée à la géographie et cartographie. Éditions du Seuil – Paris (1997). Lire en ligne :
  https://archive.org/details/RoshdiRasheded.EncyclopediaOfTheHistoryOfArabicScienceVol.3Routledge1996/Qisar-Roshdi-Rashed…

Islamic mathematical geography

S. Kennedy

1996

\pdf\KENNEDY-Islamicmathematicalgeography1996.pdf

Pour les spécialistes : The Astronomical Tables of Al-Khwarizmi , par O. Neugebauer, Copenhague, 1962 :
https://www.royalacademy.dk/Publications/Low/736_Neugebauer, O.pdf
Quadrant astronomique et son histoire sur Wikipedia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Quadrant_astronomique
Mémoire sur les instruments astronomiques des Arabes, par Louis Amélie Sédillot (1844) :
https://www.persee.fr/docAsPDF/mesav_0398-3587_1844_num_1_1_1004.pdf
Al Mahmun, le calife mécène, sur le site Histoire.fr : https://www.lhistoire.fr/al-mamun-le-calife-mécène

ALGEBRE

Les mathématiques arabes du 8e au 15e siècle, Adolf P. Youschkevitch,Éd. Vrin – CNRS – Paris -1976
L’algèbre arabe: Genèse d’un art, par Ahmed Djebbar, Éd. Vuibert/Adapt, Paris – 2005
L’algèbre d’Al-Khawarizmi et les méthodes indienne et grecque, Léon Rodet, 1878
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AL KHÂWAREZMI

EXTRAIT DE SON ALGEBRE

Traduction française : ARISTIDE MARRE

Œuvre numérisée par Marc Szwajcer

PREFACE

Abou Abdallah Mohammed ben Moussa Al Khâwarezmi est le plus ancien algébriste arabe connu. C’est l’opinion de Zakaria ben Mohammed ben Mahmoud Al Qazouïni et de presque tous les historiens et mathématiciens de sa nation. Ibn Khaldoun déclare expressément que le premier, parmi les Arabes, qui écrivit sur l’Algèbre, fut Abou Abdallah Al Khârezmi.
Vers l’an 820 de J. C, à la demande de l’illustre Khalife Al Maraoun, Mohammed ben Moussa composa « un ouvrage abrégé sur le calcul par djebr et mokâbalah, restreint à ce qu’il y a de plus aisé et de plus utile , c’est-à-dire aux opérations dont on a sans cesse besoin dans les cas d’héritage , de donation, de procès, dans les affaires du commerce et de la vie pratique, ou encore pour la mesure des terres, le creusement des canaux et autres applications du calcul à la géométrie. » C’est ainsi que s’exprime notre auteur lui-même dans sa préface à son Kitab al mokhtessar fî hissâb aldjebr oua’l mokâbalah. Ce petit traité eut de nombreux commentateurs, non seulement parmi les Arabes d’Espagne, honorés d’une mention spéciale à cet égard par Ibn Khaldoun,[1] mais encore parmi leurs frères d’Orient : il nous su dira de citer le célèbre Abou’l-wafâ Al Bouzdjâni, mort en 999 de J. C. L’auteur du lexique bibliographique intitule : Tarikh al hokama, (1198 de J. C.), parlant des ouvrages hindous parvenus aux Arabes, s’exprime ainsi : « In manus nostras incidit Liber Artis Logisticae, a Mohammado ben Musa al Khuarezmita exornatus, qui cœteros omnes brevitate methodi ac facilitate praestat, Indorumque in praeclarissimis inventis ingenium et acumen ostendit. » On sait qu’avant l’avènement d’Al Mamoun au Khalifat, c’est-à-dire avant 814 de J. C, et à la demande de ce prince, Mohammed ben Moussa avait déjà fait un Abrégé de Tables astronomiques dressées par un savant Hindou venu en 773 de notre ère à la cour d’Al Mansour, et traduites par Mohammed ben Ibrahim Al Fazâri.[2] Si l’on a pu contester la provenance hindoue de l’algèbre arabe, un fait historique demeure aujourd’hui incontestable : C’est que Mohammed ben Moussa Al Khârezmi est le véritable instituteur des nations de l’Europe moderne dans cette branche principale des Mathématiques. Les traductions latines de l’Algèbre de Mohammed ben Moussa, faites par les savants du moyen âge, furent la source où les savants du XVIe siècle vinrent puiser leurs connaissances algébriques. L’ars logistica, le calcul par Djebr de Mohammed ben Moussa, devint l’ars magna de Cardan et des autres mathématiciens de l’Italie, de l’Espagne, de la France, de l’Angleterre et de l’Allemagne.
L’existence d’une copie du Kitab al mokhtessar fî hissâb aldjebr oua’l mokâbalah de Mohammed ben Moussa Al Khârezmi, parmi les manuscrits arabes de la Bibliothèque Bodléienne d’Oxford, avait été dûment constatée par le catalogue de Jean Uri, mais le premier, Colebrooke, en 1817, attira sur ce précieux ms. l’attention du monde savant par la Dissertation magistrale qu’il mit en tête de son beau livre intitulé : « Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bhascara ». En 1831, M. Rosen publia le texte arabe tout entier en l’accompagnant d’une traduction anglaise. Quelques années plus tard, M. Libri reproduisit, dans le 1er volume de sonHistoire des sciences mathématiques en Italie (PARIS 1835, NOTE IV, page 227, lignes 11-25; pages 228-264; page 265, lignes 1-14 – A PARIS 1838, NOTE XII, page 253, lignes 12-24; pages 254-296; page 297, lignes 1-14) une traduction latine que possédait la Bibliothèque royale de Paris; mais le chapitre relatif à la géométrie, le bâb al messâhat, manquait. En 1846, désireux de combler cette lacune autant qu’il était alors en mon pouvoir, je publiai dans les Nouvelles Annales de Mathématiques (tome cinquième, page 557, lignes 19-20; page 558-569; page 570, lignes 1-8) une traduction faite sur la version anglaise de Rosen, de cette partie du Traite de Mohammed ben Moussa. La traduction que je donne aujourd’hui diffère en certains endroits de la première, par la raison que, au lieu d’être exclusivement fondée sur la version anglaise, elle a été faite littéralement sur le texte arabe lui-même.

AR. MARRE.

BÂB EL MESSÂHAT

(Chapitre du Messâhat)[3]
Sache que l’expression « un par un » appartient au Messâhat, et signifie « derâa par derâa ».[4] Tout quadrilatère dont les côtés et les angles sont égaux, qui a pour chacun des côtés un, a pour sa superficie entière un. Si dans un quadrilatère équilatéral et équiangle, chaque côté est deux, alors sa superficie est quatre fois la superficie de celui qui est égal à « derâa par derâa »;de même trois par trois, et ainsi de suite en montant ou en descendant, ainsi un-demi par un-demi un quart, et de même des autres fractions. Tout carré dont chaque côté estun demi derâa, est égal à un quart de celui dont chaque côté est un derâa, et tu fais de même pour un, tiers par un tiers, et un quart par un quart, et un cinquième par un cinquième, et un demi tiers par un demi tiers,[5] ou plus ou moins que cela. Dans tout cane, si l’un des côtés (est multiplié) par un, c’est la racine de ce carré; si par deux, deux racines; que ce carré soit petit on grand.
Dans tout triangle équilatéral, si tu multiplies la colonne par la moitié de la base sur laquelle tombe la colonne; c’est la mesure du triangle [6] Dans tout rhombe équilatéral, si tu multiplies une des deux diagonales par la moitié de l’autre, c’est sa mesure.
Dans tout cercle, si tu multiplies le diamètre par 3 et 1/7, c’est la circonférence dont il est ceint, c’est le procédé usité par les gens du vulgaire.
La famille des géomètres a deux autres méthodes; l’une d’elles, c’est que tu multiplies le diamètre par lui-même, puis par dix, et qu’ensuite tu prends la racine du tout; ce qui en résulte, c’est la circonférence. La seconde, celle des astronomes, c’est que tu multiplies le diamètre par 62832, et que tu divises cela par 20000; ce qui en résulte est la circonférence. Et tout cela diffère peu l’un de l’autre.[7]
Et la circonférence, si tu la divises par 3 et 1/7, tu obtiens le diamètre. Dans tout cercle, si tu multiplies la moitié du diamètre par la moitié de la circonférence, c’est sa mesure; en effet dans tout polygone équilatéral et équiangle, parmi les triangles, quadrilatères, pentagones, et ceux d’un plus grand nombre de côtés, si tu multiplies la moitié du périmètre par la moitié du diamètre du cercle inscrit, c’est sa mesure.
Dans tout cercle, si tu multiplies le diamètre par lui-même, et que tu en retranches le septième et le demi-septième, c’est sa mesure. Et cela concorde avec la formule de la première classe.[8]
Tout segment de cercle est assimilé à un arc. Il faut nécessairement que ce segment soit égal au demi-cercle, ou plus petit que le demi-cercle, ou plus grand que le demi-cercle. Cela est indique par la flèche de l’arc : si elle est égale à la moitié de la corde, le segment est égal à la moitié du cercle; si elle est plus petite que la moitié de la corde, il est plus petit que la moitié du cercle; si la flèche est plus grande que la moitié de la corde, il est plus grand que la moitié du cercle. Si tu veux connaître de quel cercle il est, multiplie la moitié de la corde par elle-même, divise par la flèche, et ajoute le résultat à la flèche; ce que tu obtiens, c’est le diamètre du cercle dont ce segment fait partie.[9]
Si tu veux connaître l’aire de l’arc, multiplie la moitié du diamètre du cercle par la moitié de l’arc, et garde ce produit; puis retranche la flèche de l’arc de la moitié du diamètre du cercle, si l’arc est plus petit que la demi-circonférence, ou bien s’il est plus grand que la demi-circonférence, retranche la moitié du diamètre du cercle de la flèche de l’arc; ensuite multiplie ce qui reste par la moitié de la corde de l’arc, et retranche ce produit de celui que tu as gardé si l’arc est plus petit que la demi-circonférence, ou bien additionne-les ensemble si l’arc est plus grand que la demi-circonférence. Alors le résultat obtenu après l’addition ou bien la soustraction, c’est l’aire de l’arc.[10]
Dans tout solide quadrangulaire, si tu multiplies la longueur par la largeur, puis par la profondeur, c’est sa mesure. Si la base n’est pas quadrangulaire, mais qu’elle soit circulaire ou triangulaire ou autre, à condition que la profondeur reste égale et parallèle, pour opérer lemessâhat de ce solide, tu calcules la surface de la base, tu sais sa mesure, tu la multiplies par la profondeur, et c’est la mesure (du solide).
Pour la pyramide, qu’elle soit triangulaire, quadrangulaire, circulaire, tu multiplies un tiers de la superficie de sa base par sa colonne, c’est la sa mesure.[11]
Sache que dans tout triangle rectangle, chacun des deux plus petits côtés étant multiplié par lui-même, les produits additionnés égalent le produit du plus grand côté multiplié par lui-même. Voici qui le démontre : Je trace un quadrilatère équilatéral et équiangle ABCD, je coupe !e côté AC en deux moitiés au point H, et je mène HR, puis je coupe le côté AB en deux moities au point T, et je mène TG. La surface ABCD est devenue quatre surfaces ayant leurs côtés et leurs angles égaux, savoir : surface AK, surface CK, surface BK et surface DK. Ensuite je tire du point H au point T une ligne, elle coupe la surface AK en deux moities. Cette surface a donné naissance à deux triangles, qui sont les triangles ATH et HKT. Or, il est bien évident pour nous que AT est la moitié de AB, que AH lui est égal comme moitié de AC, et que la ligne TH leur sous-tendante est la corde d’un angle droit. Je tire de même des lignes de T à R, de R à G, et de G à H. L’ensemble des carrés donne naissance à huit triangles égaux, et il est bien clair pour nous que quatre de ces triangles sont la moitié de la plus grande surface, c’est-a-dire de AD. Il est évident pour nous que la ligne AT (multipliée) par elle-même est la mesure de deux des triangles, et que AH par elle-même est la mesure de deux triangles qui leur sont égaux, la somme est donc la mesure de quatre triangles. Mais d’autre part le côté HT par lui-même est la mesure de quatre triangles. Enfin il est clair pour nous que la ligne AT par elle-même et AH par elle-même donnent une somme égale au résultat de la multiplication de TH par elle-même, c’est là ce que nous voulions montrer. Voici la figure[12] :

Sache qu’il y a cinq espèces de quadrilatères, la première dont les côtés sont égaux et les angles droits; la deuxième avec angles droits et côtés inégaux, la longueur étant plus grande que la largeur; la troisième se nomme rhombe et c’est celle dont les côtés sont égaux et les angles différents; la quatrième est le rhomboïde, sa longueur et sa largeur sont différentes et ses angles inégaux, mais les deux longueurs sont égales entre elles et ses deux largeurs aussi égales[13] ; la cinquième, dont les côtés et les angles sont inégaux.[14]
Pour la mesure des quadrilatères dont les côtés sont égaux et les angles droits, ou les côtés inégaux et les angles droits, si tu multiplies la longueur par la largeur, le résultat est la mesure. Exemples : 1° Une pièce de terre quadrangulaire dont chacun des côtés a cinq derâa, sa mesure est de vingt-cinq derâa. Voici la figure :

2° Une pièce de terre quadrangulaire; ses deux longueurs sont huit derâa, huit derâa, et ses deux largeurs six et six. Pour avoir sa mesure, tu multiplies six par huit, ce qui donne quarante-huit derâa; c’est là sa mesure. Voici la figure:

Soit le rhombe équilatéral dont chaque côté est cinq derâa, l’une de ses diagonales est huit, et l’autre six derâa. Apprends quelle est sa mesure, lorsque tu connais les deux diagonales ou l’une d’elles. Si tu connais les deux diagonales en même temps, c’est que tu multiplies l’une d’elles par la moitié de l’autre, c’est la sa mesure; ainsi tu multiplies huit par trois, ou quatre par six, ce qui fait vingt-quatre derâa, et c’est la mesure. Si tu connais une seule diagonale, tu sais bien qu’il y a deux triangles dans chacun desquels deux côtés sont cinq derâa, cinq derâa, leur troisième côté étant la diagonale. Calcule-les selon le calcul des triangles. Voici la figure :

Pour le rhomboïde on fait comme pour le rhombe.
Pour la dernière espèce de quadrilatères, tu connais sa mesure par le moyen de la diagonale, cela conduit au calcul des triangles. Apprends-le. Voici la figure du rhomboïde :

Les triangles. — Il y en a trois espèces : rectangles, acutangles et obtusangles.
Du rectangle. — Dans ce triangle, si tu multiplies chacun des deux plus petits côtés par lui-même, puis que tu fasses l’addition, cette somme est égale au résultat de la multiplication du plus grand côté par lui-même.
De l’acutangle. — Dans ce triangle, si tu multiplies chacun des deux plus petits côtés par lui-même, puis que tu fasses l’addition, la somme est plus grande que le plus grand côté multiplié par lui-même.
De l’obtusangle. — Dans tout triangle obtusangle, si tu multiplies chacun des deux plus petits côtés par lui-même, puis que tu fasses l’addition, la somme est plus petite que le plus grand côté multiplié par lui-même.
Le triangle rectangle est celui qui a deux colonnes et un diamètre (pour côtés); il est la moitié d’un quadrangle. Tu connais sa mesure, en multipliant un des deux côtés adjacents à l’an«le droit par la moitié de l’autre. Ce qui en résulte, c’est sa mesure. Exemple d’un triangle rectangle : un de ses côtés six derâa, un de ses côtés huit derâa, et le diamètre dix. Pour faire le calcul, tu multiplies six par quatre, ce qui donne vingt-quatre derâa, et c’est la mesure. S’il te plait de faire le calcul du triangle par la colonne, ce n’est que sur le plus grand côté que tombe sa colonne, car les deux plus petits côtés sont deux colonnes. Si tu veux cela, alors multiplie sa colonne par la moitié de sa base; ce qui en résulte, c’est sa mesure. Voici la figure :

La deuxième espèce. — Soit à mesurer un triangle équilatéral acutangle dont chaque côté a dix derâa. Tu détermines d’abord sonmasquèt al hadjar[15] et sa colonne. Sache que dans tout triangle isocèle, si tu mènes la colonne sur la basé, elle tombe à angles droits sur le milieu de la base, si les deux côtés sont égaux; s’ils sont inégaux, le masquèt al hadjar n’est pas au milieu de la base. Mais nous savons que dans ce triangle-ci, sur quelque côté que lu opères, le masquèt al hadjar ne sera jamais qu’en son milieu; et c’est cinq derâa. Pour connaître la colonne, lu multiplies le cinq par lui-même, et tu multiplies un des côtés, c’est-a-dire dix, par lui-même, ce qui fait cent; tu retranches de ce produit celui de cinq par lui-même, c’est-a-dire vingt-cinq; il reste soixante quinze. Tu en prends la racine, c’est la colonne, et elle est devenue un côté des deux triangles rectangles. Si tu veux la mesure, multiplie la racine de 75 par la moitié de la base, qui est 5; pour cela tu multiplies le 5 par lui-même, afin d’avoir la racine de 75 par la racine de 25; multiplie 75 par 25, c’est 1875; prends-en la racine, c’est la mesure du triangle. Et c’est 43 et peu de chose.[16] Voici la figure:

Si tu as un triangle acutangle dont les côtés sont inégaux, sache que sa mesure se connaît par son masquèt al hadjar et sa colonne. Soit un triangle dont un côté est 15 derâa, un côté 14 derâa, et un côté 13 derâa. Si tu veux connaître son masquèt al hadjar, prends pour base celui des côtés qu’il te plaira, prenons celui de 14. Son masquèt al hadjar tombe sur ce côté à la distance chéy (x) à partir de celui des deux côtés adjacents que tu voudras. Posons le chéy à partir de l’adjacent 13. Multiplions-le par lui-même, il devient un mâl (x²) ; retranchons-le de treize par lui-même, c’est-a-dire de 169, cela devient 169 moins mâl. Nous savons que la racine de cela, c’est la colonne. Il nous est resté de la base 14 moins chéy. Nous multiplions ce reste par lui-même, il en résulte 196 et mâl moins 28 chéy. Nous le retranchons de 15par lui-même, le reste est 29 derhems[17] et 28 chéy moins mâl. La racine est la colonne. Or la racine de 169 moins mâl, c’est encore la colonne. Toutes deux sont donc égales. Compare-les, c’est que tu rejettes le mâl avec le mâl, car les deux mâl sont négatifs. Alors il reste 29 et 28 chéj égal à 169. Rejette 29 de 169, il reste 140 égal à 28 chéy. Un seul chéy est 5. C est le masquèt al hadjar à partir du côté adjacent, 13. Le complément de la base, contigu à l’autre côté, c’est 9. Si tu veux connaître la colonne, multiplie ce 5 par lui-même, puis soustrais le produit du côté contigu, 13, multiplié par lui-même. Il reste 144. La racine de cela est la colonne. C’est 12. La colonne tombe toujours sur la base suivant deux angles droits, et c’est pour cela qu’on la nomme justement colonne. Multiplie la colonne par la moitié de la base, c’est-a-dire par 7, tu obtiens 84 et c’est la mesure du triangle.[18] Voici la figure[19] :

La troisième espèce; Obtusangle. C’est le triangle qui a un angle obtus. Ce triangle a pour chaque côté un nombre différent; soit un de ses côtés six, un côté cinq, un côté neuf. Tu connaîtras sa mesure par son masquèt al hadjar et sa colonne. Or le masquèt al hadjarintérieurement ne tombe que sur le plus grand côté. Prends celui-ci pour base. Si tu posais un des deux plus petits côtés pour base, lemasquèt al hadjar serait projeté en dehors d’elle. Tu trouveras son masquèt al hadjar et sa colonne, en suivant la même marche que je t’ai enseignée dans l’acutangle, et par suite sa mesure. Voici la figure :

Des cercles. — Nous avons terminé l’exposé de leurs propriétés et de leur mesure dans la première partie du livre.
Soit un cercle dont le diamètre est sept derâa, sa circonférence sera vingt deux derâa. Pour sa mesure, tu multiplies la moitié du diamètre[20] ; c’est-a-dire 3 ½ par la moitié de la circonférence dont il est ceint, c’est-à-dire par 11, cela fait 38 ½, et c’est sa mesure.
Si cela te plaît, multiplie le diamètre qui est 7 par lui-même, cela fait 49; retranches-en son septième et son demi-septième, c’est-à-dire 10 ½ il reste 38 ½, et c’est la mesure. Voici la figure :

Si l’on dit : dans un pilier pyramidal la base est quatre derâa par quatre derâa, la hauteur dix derâa, et la tête deux derâa par deux derâa. Nous savons bien que toute pyramide entière a la tête terminée en pointe, et que un tiers de la mesure de sa base multiplié par sa colonne, c’est sa propre mesure. Comme ce pilier-ci n’est pas terminé en pointe, nous voulons savoir de combien l’élever pour rétablir la tête, car il n’a pas de tête. Or nous avons appris que le dix est à la hauteur totale comme le deux est au quatre; mais le deux est la moitié du quatre, donc puisque cela est ainsi, le dix est la moitié de la hauteur. Et la hauteur totale est vingt derâa. Maintenant que nous connaissons la hauteur, prenons un tiers de la mesure de la base, c’est 5 ⅓, multiplions-le par la hauteur qui est vingt derâa; cela s’élève à 106 derâa et 2/3 derâa. Nous en retrancherons ce que nous avions ajouté afin de le terminer en pointe, c’est-à-dire un tiers de la mesure 2 par 2, ou 1⅓, multiplie par dix, ce qui fait 13 et ⅓. Et c’est là la mesure de ce que nous lui avons ajouté pour qu’il fût terminé en pointe. Si nous enlevons cela de 106 derâa et 2/3 derâa, il reste 93 derâa et ⅓, et c’est là la mesure du pilier pyramidal.[21] Voici la figure :

Si la base de la pyramide était un cercle, alors retranche du résultat de la multiplication de son diamètre par lui-même, son septième et la moitié de son septième; ce qui reste, c’est sa mesure.
Si l’on dit: une pièce de terre est un triangle dont deux côtés sont dix derâa, dix derâa, et la base douze derâa; elle est circonscrite à une pièce de terre qui est un carré, combien chaque côté du carré ? Pour le déterminer, il faut que tu connaisses la colonne du triangle; multiplie la moitié de la base, c’est-adire six, par elle-même, ce qui donne 36, retranche cela de l’un des deux plus petits côtés multiplié par lui-même, c’est-à-dire de 100, il reste 64, prends-en la racine, 8; c’est la colonne. La mesure du triangle est 48 derâa, résultat de la multiplication de la colonne par la moitié de la base, qui est six. Nous posons un des côtés du carré, chéy (x); nous le multiplions par lui-même, il en résulte mâl(x²), nous le gardons. Nous savons qu’il nous est resté deux triangles aux deux côtés du carré, et un triangle au-dessus de lui. Or les deux triangles fixés aux deux côtés du carré sont égaux entre eux, leurs colonnes étant les mêmes et formant entre elles un angle droit. Leur mesure, c’est que tu multiplies chéy par 6 moins ½ chéy, ce qui est 6 chéy moins ½ mâl; telle est la mesure de la somme des deux triangles qui sont fixés aux deux côtés du carré. La mesure du triangle placé au dessus, c’est que tu multiplies huit moins chéy, qui est sa colonne, par la moitié de chéy. C’est quatre chéy moins un demi mâl. Tout cela additionné ensemble c’est la mesure du carré et la mesure des trois triangles; et c’est dix chéy. Tu l’égales avec 48, qui est la mesure du grand triangle. Il suit de là qu’un chej est 4 derâa et 4/5 derâa. Et c’est là chaque côté du carré.[22] Voici la figure :

[1] Ibn Khaldoun nomme Al Korachi, comme l’auteur d’un des meilleurs commentaires de l’Algèbre de Mohammed ben Moussa. Ce pourrait bien être là le nom de l’auteur d’un des traités inédits qui se trouvent dans le même volume que le manuscrit de Mohammed ben Moussa, à la Bibliothèque Bodléienne d’Oxford. Ce nom est complètement dépourvu de points diacritiques, c’est pourquoi M. Fréd. Rosen a lu par conjecture Al Jaza’ï, mais ce mot pourrait se lire Al Korachi, par la simple substitution d’un chïn au lieu d’un aïn, pour l’avant-dernière lettre. Le commentaire aurait été réuni tout naturellement ainsi sous la même couverture que le traité commenté. Sans toucher au corps du mot, on pourrait encore lire Al Khozâa’ï, nom bien connu dans les annales de l’Islam, puisqu’il fut porté par le Khalife Omrân ben Hosseïn Al Khozâa’ï.
[2] Ibn Al Adami : Préface à ses Tables astronomiques. — Casiri, tome I, p. 427, 428. — Colebrooke : Dissertation, p. 504 des Miscellaneous Essays.
[3] De même que l’ouvrage traduit du sanscrit par Colebrouke renferme trois parties: Algebra, Arithmetic, Mensuration, c’est-à-dire : Algèbre, qui fait partie de la science du nombre, Calcul proprement dit, et ce que les Arabes nomment Messâhat, qui fait partie de la géométrie, île même la plupart des ouvrages purement élémentaires sur le calcul, composés par les Arabes, renferment ces trois parties successivement exposées. Chacune d’elles, quand elle est traite séparément, fait l’objet d’ouvrages spéciaux beaucoup plus développés.
Littéralement messâhat signifie l’art de mesurer; mais comme sa principale application a été de mesurer et de diviser les terres, on a souvent traduit ce mot par géodésie. Dans son messâhat, Mohammed ben Moussa ne se borne pas à donner la mesure des surfaces, il donne aussi le moyen de mesurer des solides; c’est pourquoi nous conservons le terme technique arabe, messâhat, en tète de notre chapitre, plutôt que de le traduire par le mot géodésie. Ibn Khaldoun, dans ses Prolégomènes, dit qu’on a écrit sur la science du messâhatde bons et nombreux ouvrages, mais il n’en nomme aucun.
[4] Le derâa (coudée) est l’unité linéaire; nous n’en connaissons pas la valeur exacte. Cette première phrase du texte, telle que l’a reproduite M. Rosen, est fautive. M. Rosen l’a traduite ainsi: « Know that the meaning of the expression « one by one« is mensuration : one yard (in length) by one yard (in breadth) being understood ». A la page 190, dans une note sorte passage, il dit: « I am uncertain whether my translation of the definition which Mohammed gives of mensuration be correct. Though the diacritical points are partly wanting in the manuscript, there can, I beliere, be no doubt as to the reading of the passage. » Mohammed ben Moussa n’a point songé à donner une définition du Messâhat. En lisant la proposition îlä au lieu du pronom personnel féminin hya, on rétablit le véritable sens. La définition attribuée à Mohammed ben Moussa, si c’en était une, serait fausse et incomplète.
[5] M. Rosen a traduit « two thirds by a half » c’est-à-dire 2/3 par ½ C’est ½ tiers par ½ tiers qu’il faut lire. La suite des fractions représentant la longueur de chaque côté étant ⅓, ¼, 1/5, 1/6, Mohammed ben Moussa a exprimé cette dernière à la façon arabe.
[6] Mohammed ben Moussa, versé dans les sciences des Hindous, ne donne point ici la formule particulière qui convient à l’aire du triangle équilatéral. Il donne le moyen général de mesurer un triangle quelconque; il n’oublie pas qu’il écrit pour le vulgaire et non pour des mathématiciens. Une seule règle, qui convienne à tous les cas, lui parait suffisante.
[7] Mohammed ben Moussa nous donne ici trois valeurs distinctes du rapport de la circonférence au diamètre, trois formules différentes. La première donne π = 22/7, c’est le rapport d’Archimède. La deuxième donne π = √10, et la troisième, celle particulièrement en usage parmi les astronomes et la plus exacte, donne π = (62832 / 20000). Ces trois valeurs sous la forme décimale, sont :
π = 22/7 = 3, 1424 …, π = √10 = 3, 16227 … ; π = (62832/20000) = 3, 14160 …
La première et la troisième formule se trouvent dans le Lilavati de Bhascara, page 87 de l’introduction de Colebrooke. Seulement la troisième est donnée par le géomètre hindou sous la forme 3927/1250 en multipliant par 16 chacun des termes, Mohammed ben Moussa voulut probablement lui substituer un rapport équivalent plus facile à retenir de mémoire, et plus aisé à calculer. C’est par erreur que M. Rosen a dit que la seconde se rencontrait dans le Vija Ganita de Bhascara, p. 308, 309; elle n’est pas mentionnée par cet auteur, mais bien par deux de ses prédécesseurs, Brahmagupta et Aryabhatta, qui savaient parfaitement qu’elle n’était qu’une valeur approchée du rapport.
Voici une note marginale du ms. d’Oxford, faite sur le passage qui nous occupe en ce moment: « Cela est une approximation, non pas l’exacte vérité; personne ne peut déterminer l’exacte vérité de ce rapport, et trouver la circonférence réelle, excepté Celui qui sait tout: car la ligne n’est pas » droite de telle sorte que son exacte longueur puisse être trouvée. Cela s’appelle une approximation, de même que l’on dit des racines carrées des nombres irrationnels, qu’elles sont une approximation et non pas l’exacte vérité. Dieu seul sait quelle est la racine exacte. La meilleure méthode ici donnée, c’est de multiplier le diamètre par 3 et 1/7, car elle est la plus aisée et la plus expéditive. Dieu sait mieux ! ».
[8] L’aire du cercle dont le diamètre est d, si l’on suppose π = 22/7, est en effet égale à d ² x 22 / (7×4) ou d ² x (1 – 1/7 – 1 / (7×2)) Bhascara, p. 89 du Lilavati, donne la valeur (11/14) d ², comme bonne dans la pratique, lorsqu’on n’a pas besoin d’une grande approximation.
[9] Le théorème sur lequel repose ce calcul est énoncé par Aryabhatta, ainsi qu’il suit : « dans un cercle, le produit des flèches est égal au carre de la demi-corde des deux arcs. » Quant au procédé de Mohammed ben Moussa, il est exprimé par Bhascara exactement dans les mêmes termes.
[10] C’est ce qu’exprime plus brièvement Behâ-Eddin dans son Kholâçat al hissâb : « Quant aux deux segments, dit-il, marque bien le centre, et achève les deux secteurs; alors il se forme là un triangle; retranche-le du plus petit secteur, il en résulte le plus petit segment ; ou bien ajoute-le au plus grand secteur, il en résulte le plus grand segment. »
Les géomètres Hindous avaient la formule :
Segment = 21/20 f (c + f)/2
f désignant la flèche, et c la corde (page 96 du Lilavati de Bhascara).
[11] Mohammed ben Moussa range sous une même dénomination les parallélépipèdes, les prismes et les cylindres, et sous une autre dénomination commune, les pyramides et les cônes. C’est ainsi que dans le Lilavati, Stance 217, cette première classe de solides se nomme sama-chata, et la seconde souchi-chata (solides aigus). Le terme arabe « makrouttah » qui désigne indistinctement pyramides et cônes, vient du verbe « Kharatt », dont l’une des significations: « être délié, effilé, menu, mince » conduit directement à la même source de dérivation que pour le terme sanscrit.
Nous remarquerons encore que la hauteur des solides de la première catégorie a le nom spécial de profondeur, tandis que la hauteur des solides de la seconde catégorie s’appelle colonne (aamoud), comme la hauteur d’un triangle.
On voit enfin par ce passage que le mot messâhat peut s’appliquer non seulement à la mesure du sol et des surfaces planes, mais aussi à la mesure des solides, et qu’ainsi il a parfois une acception plus générale que celle qu’on lui attribue d’ordinaire.
[12] La démonstration de Mohammed ben Moussa ne s’applique qu’au cas du triangle rectangle isocèle. Elle parle aux yeux, et s’adresse évidemment à des gens que Platon n’aurait pas admis à ses leçons; ce qui nous fait voir une fois de plus et surabondamment que notre auteur était bien loin d’exposer tout ce qu’il savait, mais qu’il lâchait de vulgariser la science en la simplifiant et la mettant à la portée des plus petits. L’élégante démonstration du carré de l’hypoténuse universellement connue, se trouve dans les éléments d’Euclide ou supposés d’Euclide, car Kâdhi Zadeh Al Roumi (vir bene meritus, selon Hadji Khalfa) et le fameux Al Kendi, l’un des douze plus grands génies qui aient paru parmi les hommes selon Cardan, assurent qu’Euclide n’est pas l’auteur des Eléments qui portent son nom. Al Kendi attribue cet ouvrage de géométrie à Abolonious Al Neddjâr Al Iskanderâni. Le traité complet était divisé en quinze livres ou sections. Longtemps après la mort d’Apollonius vivait à Alexandrie un roi qui aimait et cultivait la géométrie. Parmi les mathématiciens ses contemporains brillait Euclide. Le roi le chargea de rétablir l’ouvrage en son entier et de l’expliquer. De là treize livres exposés par Euclide et qui reçurent son nom. Ensuite Hypsiclès, son disciple, découvrit les deux autres, le quatorzième et le quinzième, les ajouta aux précédents et les offrit au roi. Tel est en substance le récit d’Alkendi. (Voir Hadji Khalfa, Tome 1^er, p. 380.)
Mohammed ben Moussa ne devait pas ignorer l’ingénieuse et charmante démonstration des Hindous, fondée sur le développement algébrique de (a — b)².

c² = 4 (a b / 2) + (a — b)² = a² + b².
[13] Comme on le voit, Mohammed ben Moussa appelle longueurs les deux côtés parallèles les plus grands, et largeurs les deux autres côtés parallèles, dans le rhomboïde ou parallélogramme.
[14] Ce sont ces quadrilatères avec côtés et angles inégaux que Behâ Eddin nomme trapèzes. La dénomination sanscrite Visbama Chatourasra qui répond au mot trapèze, s’applique chez les Hindous au quadrilatère irrégulier quelconque. C’est la signification que donne également Euclide au trapèze, c’est celle là que lui ont conservée les Anglais jusqu’à présent, et que les Français avaient gardée intacte jusqu’à la fin du siècle dernier.
[15] Masquèt al hadjar, à la lettre: le lieu où tombe la pierre. C’est le pied de la hauteur du triangle, ou de la colonne selon l’expression arabe.
[16] h = √ (10² – 5²) = √ (100 – 25) = √ 75.
S = h x b/2 = √ 75 x 5 = √ 75 x √ 25 = √ 1875 = 43 et 80/100 à moins de 0,01.
[17] Le mot derhem est employé par les algébristes arabes pour désigner les quantités numériques, les termes tout connus de l’équation, et les distinguer des chéy, ou termes en x, et des mâl, termes en x².
[18] Voici la marche suivie par Mohammed ben Moussa :
15² — (14 — x²) = 13² — x²
15² — 196 — x² + 28x = 169 — x²
29 + 28 x = 169
28 x = 140
x = 5
Colonne = √(13²— 5²) = √144 = 12
Triangle = 12 x 14/2= 12 x 7 = 84.
Pour trouver dans un triangle quelconque le pied de la perpendiculaire abaissée de l’un des sommets,
Bchâ Eddin emploie la formule
x = a/2 = (b + c)(b – c)/2a
Pour a = 14, b = 15, c = 13, cette formule donne x = 7 – (28 x 2) / (2 x 14) = 7 – 2 = 5
[19] La hauteur et les trois côtés du triangle sont les quatre nombres entiers consécutifs, 12, 13, 14, 15. Nous résumerons ici les observations auxquelles ers mêmes nombres, qui se rencontrent dans un exemple de triangle donné par Brahmegupta, ont conduit M. Chastes (Aperçu historique). «Ces nombres sont très-remarquables en ce qu’ils sont ceux choisis â plusieurs siècles d’intervalle, non seulement par les Hindous, mais aussi par Héron d’Alexandrie, Héron le jeune, les trois fils de Moussa ben Chaker, Léonard de Pise, Jordan, Luca di Burgo, Georges Valla, Tartalea, etc. » L’usage général de ces trois nombres semblait dire qu’ils avaient une origine commune; mais M. Chastes, en y réfléchissant davantage, ne tarda pas à reconnaître que ces nombres n’offraient probablement pas les secours historiques qu’il avait espérés d’abord. « En effet, dit-il, on aura cherché naturellement, pour les trois côtés du triangle à proposer en exemple, trois nombres pour lesquels l’aire de ce triangle, et conséquemment la hauteur fussent exprimées en nombres rationnels. Cette question se réduit à construire deux triangles rectangles en nombres rationnels, ayant un côté commun. C’est ainsi que Brahmegupta a fait. Maintenant parmi tous les systèmes de deux triangles rectangles exprimés en nombres rationnels entiers, et ayant un côté commun, on aura pris celui où ces nombres sont les plus petits ; ce ont ceux qui ont pour côtés, le premier 5, 12, 13, et le second 9, 12, 15. Plaçant ces deux triangles de manière que leurs deux côtés égaux se confondent, et que les autres côtés des angles droits soient dans le prolongement l’un de l’autre, on forme le triangle acutangle qui a sa base égale à 14, et ses deux autres côtés égaux à 13 et à 15. C’est ainsi que différents géomètres, chacun de son côté, auront pu être conduits au triangle exprimé par les nombres 13, 14, 15. »
[20] Il est à remarquer que ni Mohammed ben Moussa, ni Behâ Eddin n’emploient de mot simple équivalent au nôtre, rayon. Ils expriment toujours le rayon, en disant demi-diamètre. Les Hindous ont un mot carcata, ouverture de compas, à la lettre écrevisse, pour désigner le rayon (p. 90 du Lilavati de Bhascara.)
[21] 10 : H : : 2 : 4, H = 20.
Pyr. entière = 5 ⅓ x 20 = 106 2/3
Pyr. complémentaire = 4/3 x 10 = 13 ⅓
Pyr. tronquée ou Pilier pyramidal = 106 2/3 — 13 ⅓ = 93 ⅓.
[22] h = √ (10² – 6²) = √ 64 = 8
S = 8 x 6 = 48
S = x² + x (6 – x/2) + (8 – x) (x/2)
d’où x² + 6x – x²/2 + 4x – x²/2 = 48
10 x = 48
x = 48/10 = 4 4/5.