David Hilbert

est unanimement reconnu comme la figure emblématique des maths du XXè s.
Son œuvre est immense, comparable à celle de Poincaré.
Surtout, Hilbert a donné l’impulsion de nombreuses recherches mathématiques du XXè s.,
et a créé une école allemande qui domina trente années durant.
Hilbert est né le 23 janvier 1862 à Königsberg (aujourd’hui cette ville est devenue Kaliningrad [Russie]


Ruines du Château de Königsberg dans les années 1950

qui se trouve sur le site de l’ancienne Königsberg, fondée en 1255 par les chevaliers teutoniques autour d’un château devant les protéger.
Il fait sa thèse à l’université de la même ville, sous la direction de Lindemann,
le mathématicien auquel on doit la première preuve de la transcendance de pi.
C’est à cette époque qu’il se lie avec Minkowski

Hermann Minkowski (né à  Alexotas en Russie, aujourd’hui en Lituanie, dcd à  Göttingen est un mathématicien et un physicien théoricien allemand)
Description de cette image, également         commentée ci-après, qui restera son ami toute sa vie.
Les premiers travaux de Hilbert portent sur la théorie des invariants, qu’il aborde d’une façon radicalement nouvelle.
Alors que ses prédécesseurs avaient obtenu des résultats partiels au prix de calculs lourds,
il parvient à un résultat général – son fameux Nullstellensatz (en français théorème des zéros de Hilbert) – à l’aide de raisonnements abstraits.
Ce sont la les premières pierres de la géométrie algébrique abstraite, une thématique majeure du XXè s.
C’est en 1895 que Hilbert rejoint l’université de Göttingen,

[ Göttingen est une ville d’Allemagne, dans le Land de Basse-Saxe, capitale du district du même nom.
Elle se situe à mi-chemin entre Bonn et Berlin. Elle compte 130 000 habitants (2008), dont 26 000 étudiants.
C’est un important centre universitaire.
L’université de Göttingen est l’une des plus célèbres d’Allemagne, avec 26 000 étudiants et 2 500 enseignants.
42 prix Nobel ont enseigné ou étudié à Göttingen]

qu’il ne quittera plus malgré de nombreuses propositions.
Il fit de cette université le centre nerveux des mathématiques du début du XXè s.
Il aura pour élèves Hermann Weyl, ainsi que le champion d’échecs Lasker.
Il se consacre alors à faire le point, avec son ami Minkowski, sur la théorie algébrique des nombres, et dans son ouvrage Zahlbericht, il réalise une brillante synthèse d’idées de Kummer, Kronecker, Dedekind, et des ses propres travaux.
Il publie aussi Grundlagen der Geometrie, où il inaugure la méthode axiomatique en donnant une formulation rigoureuse de la géométrie euclidienne.
Le 8 août 1900, au Second Congrès International des Mathématiciens réuni à Paris, David Hilbert a profondément changé la face des mathématiques.
Et pourtant, ce jour-là, il n’a annoncé aucun théorème nouveau, aucun résultat.
Rien de tout cela.
Au contraire même, ce jour-là, Hilbert a posé 23 problèmes à la communauté des mathématiciens.
Ces problèmes ont été le moteur de nombreuses recherches tout au long du siècle dernier.
Dans une conférence restée un morceau d’anthologie (Hermite dira : “On n’entendra plus dans les congrès de conférences pareilles”),
Hilbert essaie de deviner le futur d’une science.
La plupart des 23 problèmes furent effectivement au cœur de nombreuses recherches depuis lors, même s’il en reste 3 ouverts à l’heure actuelle.

Les conceptions scientifiques de David Hilbert ont une grande influence sur les mathématiciens de l’époque.Hilbert s’oppose fermement au pessimisme scientifique prôné en particulier par le physiologiste Emil du Bois-Reymond,
pour qui il est des questions en sciences qui resteront toujours sans réponse, une doctrine connue sous le nom d’« Ignorabimus » (du latin ignoramus et ignorabimus : « Nous ne savons pas et nous ne saurons jamais »).
Pour Hilbert, « il n’y a pas d’Ignorabimus en mathématiques » ((de) Wir müssen wissen.
Wir werden wissen
 : « Nous devons savoir.
Nous saurons », déclare-t-il en 1930 dans une allocution radio-diffusée restée célèbre
La découverte de paradoxes dans les théories proposées par Cantor et Frege sur les fondements des mathématiques
ébranle la confiance en ceux-ci. Certes, on a de nouvelles théories des ensembles qui sont exemptes des paradoxes connus,
mais comment s’assurer qu’on n’en trouverait pas de nouveaux ?
Hilbert s’oppose également violemment à l’intuitionnisme du mathématicien néerlandais Brouwer,
que promeut ce dernier pour résoudre la crise des fondements, et qui est une remise en cause radicale de ceux-ci.

Brouwer juge que le tiers exclu, un principe logique qui affirme qu’une proposition est soit vraie soit fausse,
s’il repose sur une intuition solide quand on manipule le fini, ne peut être un principe du raisonnement,
dès que l’on manipule l’infini. Une preuve d’existence doit être effective.
Il ne suffit pas, pour montrer telle proposition, de montrer que sa négation entraînerait une contradiction.
Cette position, cohérente sur le plan des idées, et qui séduit des mathématiciens de valeur – outre Brouwer lui-même,
Hermann Weyl pendant un temps – a pour principal défaut, de remettre en cause des pans entiers des mathématiques
Pour régler la question des fondements, Hilbert conçoit un programme dont il établit les prémisses en 1900
dans l’introduction à sa célèbre liste de problèmes, le second problème étant celui de la cohérence de l’arithmétique.
Il développe ensuite ce programme dans les années 1920, avec ses collaborateurs, parmi lesquels Paul Bernays et Wilhelm Ackermann.
L’idée est grossièrement la suivante.

Tant que l’on manipule le fini, les mathématiques sont sûres.
L’arithmétique élémentaire (en un sens qui doit se préciser) est sûre.
Pour justifier l’utilisation d’objets abstraits ou idéaux, en particulier infinis,
il suffit de montrer que la théorie qui les utilise est cohérente,
mais bien sûr cette cohérence doit elle-même être démontrée par des moyens finitaires.
On peut alors affirmer l’existence de ces objets.
Cette approche est ce que l’on a appelé le « formalisme ».

Le théorème de complétude, démontré par Kurt Gödel dans sa thèse en 1929,
indique sommairement que l’on ne pourra trouver de nouveaux principes de raisonnement purement logiques autres que ceux déjà connus.
Cela semble aller dans le sens de Hilbert. D’autres résultats qu’Hilbert obtient avec Wilhelm Ackermann dans les mêmes années semblent aller également dans ce sens.

Mais, même si Hilbert n’a pas explicitement formalisé le système des mathématiques finitaires, on considère généralement qu’il s’agissait d’une théorie arithmétique, sans préciser plus avant,
une théorie qui satisfaisait les conditions des deux théorèmes d’incomplétude que Gödel expose en 1930 et publie en 1931,
théorèmes devenus célèbres depuis.
Le second théorème d’incomplétude montre que l’on ne peut pas prouver dans cette théorie sa propre cohérence,
et donc certainement pas celle de théories plus fortes qui assureraient la fondation des mathématiques.
C’est donc l’échec du programme de Hilbert.
Il est d’ailleurs probable que Gödel, motivé par le programme de Hilbert, avait tout d’abord voulu prouver la cohérence de l’arithmétique.

Peu de mathématiciens comprirent tout d’abord ces théorèmes et leurs implications sur le programme de Hilbert.
Il faut compter parmi eux John von Neumann, très impliqué alors dans les recherches sur les fondements des mathématiques,
et Paul Bernays, proche collaborateur de Hilbert.
Von Neumann avoua plus tard qu’il n’avait jamais imaginé à l’époque que cet échec fût possible.
Il en tira une grande admiration pour Gödel… et abandonna à peu près toute recherche sur les fondements des mathématiques.

Au XXIe siècle, les conséquences des théorèmes de Gödel sur le programme de Hilbert ne sont plus guère contestées.
Ce n’est pas le cas, en ce qui concerne la position de celui-ci sur « l’ignorabimus ».
D’après Richard Courant, l’optimisme « contagieux » de Hilbert sur la possibilité de résoudre tout problème mathématique était l’une de ses grandes forces.
À ce propos, le théorème de Gödel dit simplement qu’il y a des énoncés que l’on ne saura ni démontrer ni réfuter dans une théorie donnée, pas en mathématiques en général.
La réponse ne peut simplement pas être aussi simple, et probablement pas aussi définitive, que celle qu’aurait fournie le succès du programme de Hilbert.

L’intuitionnisme, que le théorème de Gödel ne remet pas en cause, n’a pas pour autant gagné la partie.
Il est resté très marginal.
Très idéologique, il remet trop radicalement en cause les mathématiques, raison qu’invoque d’ailleurs Hermann Weyl pour finalement l’abandonner.
On doit son renouveau depuis les années 1970 au développement de l’informatique
, et à une vision devenue souvent moins critique des mathématiques classiques, qu’il pourrait servir à mieux comprendre.

C’est en collaborant avec le mathématicien David Hilbert qu’Einstein a pu mettre au point l’équation de la relativité générale.
Certains attribuent d’ailleurs à Hilbert la paternité de cette équation.
On sait aussi qu’Einstein avait épousé une mathématicienne

Mileva Einstein, née Mileva Marić
(en cyrillique serbe Милева Марић ; 19 décembre 1875 à Titel, Serbie ; † 4 août 1948 à Zurich)
était la camarade d’études d’Albert Einstein, puis sa première épouse.
Depuis les années 1990, il existe un débat concernant sa participation à la plupart des travaux scientifiques de son mari.
et on pense aussi qu’elle était l’auteur de beaucoup de calculs utilisés par Einstein dans ses travaux, ainsi que d’autres mathématiciens dont Lorenz.
Henri Poincarré a été le premier à utiliser le terme de relativité, selon Lorentz.
Poincarré a utilisé en 1900 la formule m = E / c².
Einstein a décrit dans un article (26/9/1905) le principe de relativité restreinte.
L’équation E=mc2  a été exprimée en 1905 par Albert Einstein dans le cadre de la relativité restreinte.
Que ce soit dans ses articles, ses livres, ses interviews ou tout autre document, Einstein s’abstenait soigneusement de citer les apports de tout autre scientifique, que ce soit dans une collaboration directe ou dans des publications qui auraient pu l’inspirer.
Il n’avait jamais non plus fait la moindre allusion au travail de sa femme (que l’on connaît parce qu’on a retrouvé ses écrits plus tard).

Le nom de Hilbert est cependant connu des étudiants surtout pour ses célèbres espaces de Hilbert,
qu’il est amené à introduire vers 1909, au cours de son travail sur des équations intégrales.
Ensuite, Hilbert se consacre surtout au développement de l’école de pensée dite formaliste,
par opposition à l’école intuitionniste de Poincaré et Brouwer.
Les intuitionnistes ne reconnaissaient que les preuves d’existence de nature constructive,
et refusaient les méthodes axiomatiques de Hilbert.
Si ces mathématiques intuitionnistes gardent un grand intérêt,
c’est la pensée axiomatique d’Hilbert qui peu à peu va devenir dominante,
jusqu’à son influence sans doute excessive dans l’enseignement des “mathématiques modernes”.  
L
a légendaire distraction des mathématiciens ne se dément pas avec Hilbert.
On rapporte qu’un jour, les Hilbert recevant des invités à diner, Mme Hilbert demanda à son mari de changer de chemise. Le temps passa,
les invités arrivèrent, mais Hilbert ne descendait pas.
L’explication?
En enlevant sa chemise, il avait commencé une séquence de gestes qui l’avait amené droit au lit et dans un sommeil profond!

Hilbert décède le 14 février 1943 à Göttingen.

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Problèmes de Hilbert

Histoire Problèmes célèbres Problèmes de Hilbert

  Le 8 août 1900, à l’occasion du second Congrès International des mathématiciens (à Paris), David Hilbert énonça une liste de 23 problèmes qui devaient être pour lui un guide pour les recherches à venir. Leur résolution devait permettre aux mathématiciens de faire des progrès considérables dans leur science. Ce programme s’est avéré très fécond, et motiva de nombreuses recherches. Voici quelques indications sur ces problèmes :

  • Pb 1 : L’hypothèse du continu est-elle vérifiée? La réponse est que dans la théorie classique des ensembles ceci est indécidable (prouvé par Gödel en 1940, qui démontre qu’on ne peut pas la réfuter, et par Cohen en 1963 qui démontre qu’on ne peut pas la prouver) (en savoir plus).
  • Pb 2 : Peut-on prouver la consistance de l’arithmétique? Autrement dit, est-ce que les axiomes qui définissent l’arithmétique des entiers sont non contradictoires? La réponse est donnée par Gödel en 1931 : on ne peut pas prouver la consistance de l’arithmétique en utilisant les seuls axiomes de l’arithmétique (en savoir plus sur les théorèmes de Gödel).
  • Pb 3 : Etant donné deux polyèdres de même volume, peut-on découper le premier polyèdre en un nombre fini de morceaux, qui sont aussi des polyèdres, de sorte qu’en réarrangeant d’une autre façon ces morceaux, on reconstitue le second polyèdre. Ce problème fut le premier à être résolu, et négativement, par Max Dehn, un élève de Hilbert, en 1902 (en savoir plus).
  • Pb 4 : Trouver toutes les géométries pour lesquelles la distance la plus courte entre deux points est réalisée par les segments de droite. Cette question a été résolue par George Hamel.
  • Pb 5 : Peut-on enlever l’hypothèse de dérivabilité dans la définition d’un groupe de Lie? Une réponse positive a été apportée par le théorème de Gleason-Zippin-Montgomery –en savoir plus.
  • Pb 6 : Peut-on mathématiser les axiomes de la physique? Cette question est devenue rapidement obsolète, vue l’évolution divergente de ces deux disciplines.
  • Pb 7 : Est ce ab est transcendant si a est un nombre algébrique, et si b est un nombre irrationnel? Ce problème a été résolu partiellement par Gelfond et Schneider en 1931, qui ont prouvé que c’est vrai si b est supposé en outre algébrique – en savoir plus
  • Pb 8 : La conjecture de Riemann sur les zéros de la fonction Zêta est-elle vraie? En filigrane, c’est la répartition des nombres premiers qui intéresse Hilbert. Cette question est probablement la plus importante parmi les 23 questions à ne pas avoir été résolue. Elle a été reprise dans la liste des 7 problèmes du millénaire – en savoir plus.
  • Pb 9 : Etendre les problèmes de réciprocité (comme la loi de réciprocité quadratique) aux anneaux d’entiers d’un corps algébrique. Ce problème a été résolu par Artin en 1927 – en savoir plus.
  • Pb 10 : Existe-t-il un algorithme universel permettant de déterminer, en un nombre fini d’étapes, si une équation diophantienne admet des solutions. Matiassevich donne une réponse négative en 1970 – en savoir plus.
  • Pb 11 : Peut-on obtenir une classification des formes quadratiques à coefficients dans un anneau d’entiers algébriques semblable à la classification usuelle sur R (avec la signature)? Des résultats très importants sur ce problème ont été obtenu par Hasse (1929) et Siegel (1935).
  • Pb 12 : Il s’agit d’un problème très abstrait, concernant la construction des corps de classes des corps de nombres algébriques. Il a été résolu en 1922 par Takagi (en savoir plus).
  • Pb 13 : Montrer que l’on ne peut pas exprimer les solutions de l’équation générale de degré n à l’aide de fonctions continues de deux variables. Problème résolu par Kolmogorov et son étudiant Arnold en 1954.
  • Pb 14 : Soit K un corps, et L un corps compris entre K et K(x1,…,xn) (corps des fractions sur K à n variables). L’intersection de L et de l’anneau de polynômes K[x1,…,xn] est-elle un anneau finiment engendré? Ce problème a été résolu par la négative par Nagata en 1958, qui a produit un contre-exemple après que Zariski ait traduit ce problème en termes d’invariants de certains groupes de la géométrie projective.
  • Pb 15 : Le principe de continuité de Poncelet affirme que les propriétés d’une figure, invariantes par certaines transformations, ne sont pas modifiées lorsque la figure prend une position limite (par exemple, si des droites deviennent parallèles,…). Ce principe a ensuité été généralisé par Schubert. La 15ème question de Hilbert était de trouver un fondement rigoureux à ce problème. Ce fut fait par Bell, en 1945.
  • Pb 16 : Etudier la topologie des courbes algébriques réelles et des surfaces. Seuls quelques résultats sporadiques ont été obtenus dans cette direction.
  • Pb 17 : Est-ce qu’un polynôme à coefficients réels, à plusieurs variables, et toujours positif, s’écrit comme somme de carrés de fractions rationnelles? Ce problème a été résolu par l’affirmative par Artin en 1927 (en savoir plus).
  • Pb 18 : Quels sont les pavages possibles de l’espace, ou plus généralement de Rn, par des polyèdres tous identiques? Question résolue par Bieberbach en 1910.
  • Pb 19 : Déterminer si les solutions d’équations différentielles ou d’équations aux dérivées partielles régulières sont analytiques. La réponse est positive, comme l’a notamment montré Bernstein en 1929.
  • Pb 20 : Etudier des généralisations du problème de Dirichlet. De nombreux travaux ont été réalisés depuis sur ce sujet.
  • Pb 21 : Montrer qu’il existe toujours une équation différentielle linéaire vérifiant certaines conditions (appartenance à la classe de Fuchs, points singuliers et groupe de monodromie donnés). Ce problème a été résolu par la négative par Bolibruch en 1989.
  • Pb 22 : L’uniformisation des courbes algébriques consiste à trouver une paramétrisation des variables x et y à l’aide d’un seul paramètre. Le 22ème problème de Hilbert consistait en l’uniformisation des fonctions analytiques complexes au moyen des fonctions automorphes. Il a été résolu par Poincaré en 1907.
  • Pb 23 : Le problème 23, très vaste, concernait l’extension des méthodes du calcul des variations et plus généralement l’étude de la régularité des solutions d’équations aux dérivées partielles. Ce problème fait toujours l’objet de recherches actives.

 

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